例 7.1 — 多组分精馏 FUG 全流程计算

题目

某分离烃类的精馏塔，进料为 100 kmol/h，70°C 泡点进料，操作压力 500 kPa。 进料组成：

组分	分类	$z_i$
正丁烷 (nC₄)	L	0.40
正戊烷 (nC₅)	LK	0.25
正己烷 (nC₆)	HK	0.20
正庚烷 (nC₇)	H	0.15

分离要求：正戊烷在馏出液中回收率 ≥ 95%；正己烷在釜液中回收率 ≥ 95%。

计算：

1. 馏出液和釜液的流量与组成
2. 塔顶温度和塔釜温度
3. 最少理论板数
4. 最小回流比和实际回流比（$R = 1.3 R_{\min}$）
5. 实际理论板数
6. 进料位置

已知条件整理

参数	值
进料流量 $F$	100 kmol/h
进料温度	70°C
进料热状态	泡点进料，$q = 1$
操作压力 $P$	500 kPa
LK 回收率 $\phi_{D,LK}$	0.95
HK 回收率 $\phi_{B,HK}$	0.95

Antoine 常数（用于计算饱和蒸气压 $P_i^{\text{sat}}$，形式：$\log_{10} P^{\text{sat}} = A - \frac{B}{T + C}$，$P$ 单位 Pa，$T$ 单位 K）：

组分	$A$	$B$	$C$
正丁烷	9.1065	2150.6	-34.42
正戊烷	9.2145	2477.2	-39.94
正己烷	9.2667	2697.5	-48.78
正庚烷	9.2740	2911.3	-56.51

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求解过程

(1) 物料衡算 — 清晰分割假设

首先假设清晰分割：轻组分 (L) 全部进入馏出液，重组分 (H) 全部进入釜液。

各组分进料流量 $f_i = z_i \times F$：

$$f_L = 0.40 \times 100 = 40.0\ \text{kmol/h}$$

$$f_{LK} = 0.25 \times 100 = 25.0\ \text{kmol/h}$$

$$f_{HK} = 0.20 \times 100 = 20.0\ \text{kmol/h}$$

$$f_H = 0.15 \times 100 = 15.0\ \text{kmol/h}$$

由回收率计算关键组分分配：

$$d_{LK} = 0.95 \times 25.0 = 23.75\ \text{kmol/h},\quad b_{LK} = 25.0 - 23.75 = 1.25\ \text{kmol/h}$$

$$b_{HK} = 0.95 \times 20.0 = 19.0\ \text{kmol/h},\quad d_{HK} = 20.0 - 19.0 = 1.0\ \text{kmol/h}$$

清晰分割假设下：

$$d_L = f_L = 40.0,\quad b_L = 0$$

$$d_H = 0,\quad b_H = f_H = 15.0$$

第一轮物料衡算结果：

组分	$f_i$	$d_i$	$b_i$	$x_D$	$x_B$
L (nC₄)	40.0	40.00	0	0.6178	0
LK (nC₅)	25.0	23.75	1.25	0.3668	0.0355
HK (nC₆)	20.0	1.00	19.00	0.0154	0.5390
H (nC₇)	15.0	0	15.00	0	0.4255
合计	100	64.75	35.25	1.0000	1.0000

$$D = 64.75\ \text{kmol/h},\quad B = 35.25\ \text{kmol/h}$$

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(2) 塔顶温度和塔釜温度

关键步骤：温度不是给定的，而是通过试差法求解。这正是"计算"相对挥发度的前提——必须先知道塔顶和塔釜温度，才能计算各位置的 $K_i$ 值和 $\alpha_{ij}$。

塔顶温度（露点）：

塔顶蒸汽组成 $y_i = x_{Di}$，满足露点方程 $\displaystyle\sum_i \frac{y_i}{K_i} = 1$。

相平衡常数由 Antoine 方程求得：$K_i = \dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P}$。

第一次试差，假设 $T_D = 74°C = 347.15\ \text{K}$：

$$P_{L}^{\text{sat}} = 10^{9.1065 - 2150.6/(347.15 - 34.42)} = 873547\ \text{Pa}$$

$$K_L = \frac{873547}{500000} = 1.75$$

同理：$K_{LK} = 0.63$，$K_{HK} = 0.24$，$K_H = 0.093$。

检验露点方程：

$$\sum \frac{x_{Di}}{K_i} = \frac{0.6178}{1.75} + \frac{0.3668}{0.63} + \frac{0.0154}{0.24} = 1.00$$

收敛！塔顶温度 $\boxed{T_D = 74°C}$。

塔釜温度（泡点）：

釜液组成 $x_i = x_{Bi}$，满足泡点方程 $\displaystyle\sum_i x_i K_i = 1$。

经试差，$\boxed{T_B = 139.7°C}$ 时满足泡点方程。

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(3) 最少理论板数 — Fenske 方程

核心：相对挥发度 $\alpha_{ij}$ 是算出来的，不是查表得到的。

$$\alpha_{ij} = \frac{K_i}{K_j} = \frac{P_i^{\text{sat}}}{P_j^{\text{sat}}}$$

在塔顶温度 (74°C) 和塔釜温度 (139.7°C) 下分别计算各组分的 $K_i$ 值：

塔顶（74°C）：

组分	$P_i^{\text{sat}}$ (Pa)	$K_i = P_i^{\text{sat}}/P$	$\alpha_i$ ($i$/HK)
L (nC₄)	873547	1.75	1.75/0.24 = 7.29
LK (nC₅)	315000	0.63	0.63/0.24 = 2.63
HK (nC₆)	120000	0.24	1.00
H (nC₇)	46500	0.093	0.39

塔釜（139.7°C）：

组分	$P_i^{\text{sat}}$ (Pa)	$K_i$	$\alpha_i$ ($i$/HK)
L (nC₄)	—	—	4.87
LK (nC₅)	—	—	2.15
HK (nC₆)	—	—	1.00
H (nC₇)	—	—	0.50

平均相对挥发度（几何平均）：

$$\alpha_{i,av} = \sqrt{\alpha_{i,D} \times \alpha_{i,B}}$$

组分	$\alpha_D$	$\alpha_B$	$\alpha_{av}$
L	7.29	4.87	5.90
LK	2.63	2.15	2.39
HK	1.00	1.00	1.00
H	0.39	0.50	0.44

Fenske 方程：

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\left(\dfrac{x_{LK}}{x_{HK}}\right)_D \left(\dfrac{x_{HK}}{x_{LK}}\right)_B\right]}{\log \alpha_{LK,HK}}$$

代入：

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\dfrac{0.3668}{0.0154} \times \dfrac{0.5390}{0.0355}\right]}{\log 2.39} = \frac{\log(23.82 \times 15.18)}{\log 2.39} = \frac{\log(361.6)}{0.378} = \frac{2.558}{0.378} = 6.77$$

圆整：$\boxed{N_{\min} = 7}$（包括再沸器）。

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(3b) 非关键组分分配核算

使用 Fenske 方程反算非关键组分的实际分配：

$$\frac{d_i}{b_i} = \alpha_i^{N_{\min}} \left(\frac{d}{b}\right)_{HK}$$

其中 $\left(\frac{d}{b}\right)_{HK} = \frac{1.0}{19.0} = 0.05263$。

组分 L（nC₄）：

$$\frac{d_L}{b_L} = 5.90^{7} \times 0.05263 = 248597 \times 0.05263 = 13083$$

$$b_L = \frac{f_L}{1 + d_L/b_L} = \frac{40}{1 + 13083} \approx 0.003 \approx 0$$

→ 几乎全部进入馏出液，清晰分割假设成立。

组分 H（nC₇）：

$$\frac{d_H}{b_H} = 0.44^{7} \times 0.05263 = 0.00318 \times 0.05263 = 0.000167$$

$$d_H = \frac{f_H}{1 + b_H/d_H} \approx 0.0025 \approx 0$$

→ 几乎全部进入釜液，清晰分割假设成立。

修正后的物料衡算：

组分	$f_i$	$d_i$	$b_i$	$x_D$	$x_B$
L	40.0	39.996	0.004	0.6177	0.0001
LK	25.0	23.75	1.25	0.3668	0.0355
HK	20.0	1.00	19.00	0.0154	0.5390
H	15.0	0.003	14.997	0.0000	0.4254
合计	100	64.749	35.251	1.0000	1.0000

重新校验温度：$T_D \approx 74°C$，$T_B \approx 139.6°C$，与初值一致，迭代收敛。

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(4) 最小回流比 — Underwood 方程

泡点进料，$q = 1$，第一个 Underwood 方程：

$$\sum_{i=1}^{c} \frac{\alpha_i z_{iF}}{\alpha_i - \theta} = 1 - q = 0$$

$$\frac{5.90 \times 0.40}{5.90 - \theta} + \frac{2.39 \times 0.25}{2.39 - \theta} + \frac{1.00 \times 0.20}{1.00 - \theta} + \frac{0.44 \times 0.15}{0.44 - \theta} = 0$$

$\theta$ 必须介于 $\alpha_{HK} = 1.00$ 和 $\alpha_{LK} = 2.39$ 之间。试差求解：

试算 $\theta$	方程值
1.10	+0.17
1.20	+0.08
1.21	≈ 0

$\boxed{\theta = 1.21}$

第二个 Underwood 方程（使用馏出液组成）：

$$R_{\min} + 1 = \sum_{i=1}^{c} \frac{\alpha_i x_{Di}}{\alpha_i - \theta}$$

$$\begin{aligned} R_{\min} + 1 &= \frac{5.90 \times 0.6177}{5.90 - 1.21} + \frac{2.39 \times 0.3668}{2.39 - 1.21} + \frac{1.00 \times 0.0154}{1.00 - 1.21} \\ &= \frac{3.644}{4.69} + \frac{0.876}{1.18} + \frac{0.0154}{-0.21} \\ &= 0.777 + 0.742 - 0.073 = 1.446 \end{aligned}$$

$$R_{\min} = 1.446 - 1 = 0.446$$

实际回流比：$R = 1.3 \times R_{\min} = 1.3 \times 0.446 = 0.580$

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(5) 实际理论板数 — Gilliland 关联式

$$\frac{R - R_{\min}}{R + 1} = \frac{0.580 - 0.446}{0.580 + 1} = 0.085$$

Gilliland 关联式（Eduljee 形式）：

$$Y = 0.75\left(1 - X^{0.5668}\right)$$

$$X = 0.085 \rightarrow Y = 0.75\left(1 - 0.085^{0.5668}\right) = 0.568$$

由 $Y = \dfrac{N - N_{\min}}{N + 1}$：

$$N = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y} = \frac{7 + 0.568}{1 - 0.568} = \frac{7.568}{0.432} = 17.5$$

圆整：$\boxed{N = 18}$ 块理论板（含再沸器）。

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(6) 进料位置 — Kirkbride 方程

Kirkbride 标准形式（以关键组分在两端的"泄漏量"之比驱动进料位置）：

$$\frac{N_R}{N_S} = \left[\left(\frac{z_{HK}}{z_{LK}}\right)_F \left(\frac{x_{LK,B}}{x_{HK,D}}\right)^2 \frac{B}{D}\right]^{0.206} \tag{7.24}$$

其中 $x_{LK,B}$ 为 LK 在釜液中的摩尔分数（LK 泄漏量），$x_{HK,D}$ 为 HK 在馏出液中的摩尔分数（HK 泄漏量）。两者之比被平方，反映了关键组分泄漏对进料位置的敏感影响。

代入数据：

$$x_{LK,B} = \frac{1.25}{35.25} = 0.0355,\quad x_{HK,D} = \frac{1.00}{64.75} = 0.0154$$

$$\begin{aligned} \frac{N_R}{N_S} &= \left[\frac{0.20}{0.25} \times \left(\frac{0.0355}{0.0154}\right)^2 \times \frac{35.25}{64.75}\right]^{0.206} \\ &= \left[0.80 \times (2.305)^2 \times 0.544\right]^{0.206} \\ &= \left[0.80 \times 5.313 \times 0.544\right]^{0.206} \\ &= (2.312)^{0.206} = 1.186 \end{aligned}$$

精馏段与提馏段板数之和等于总理论板数减 1（再沸器不计入分段）：

$$N_R + N_S = N - 1 = 17$$

$$N_R = 1.186 N_S \;\Rightarrow\; N_S = \frac{17}{2.186} = 7.8 \approx 8,\quad N_R = 9$$

$\boxed{\text{精馏段 } N_R = 9,\ \text{提馏段 } N_S = 8\ \text{（另加再沸器 = 9 段）}}$

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最终结果汇总

设计参数	值	设计参数	值
馏出液流量 $D$	64.75 kmol/h	塔顶温度	74°C
釜液流量 $B$	35.25 kmol/h	塔釜温度	139.7°C
最少理论板 $N_{\min}$	7	LK 相对挥发度	2.39
最小回流比 $R_{\min}$	0.45	实际回流比 $R$	0.58
实际理论板 $N$	18	进料位置 $N_R/N_S$	9/8（另加再沸器）

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方法总结：FUG 法的正确计算流程

1. 物料衡算：清晰分割假设 → 估计 $D, B, x_{Di}, x_{Bi}$
2. 温度迭代：用 Antoine 方程求 $P_i^{\text{sat}}$ → $K_i = P_i^{\text{sat}} / P$ → 露点/泡点方程试差求 $T_D, T_B$
3. 计算 $\alpha$（不要查表！）：$\alpha_{ij} = K_i / K_j$（由 Antoine 方程导出），取顶底几何平均
4. Fenske → $N_{\min}$，验证非关键组分分配，必要时迭代回步骤 1
5. Underwood → 试差求 $\theta$ → $R_{\min}$
6. Gilliland → 实际 $N$
7. Kirkbride → 进料位置

关联条目

• Fenske 方程
• Underwood 方程
• Gilliland 关联式
• 关键组分与清晰分割

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