Fenske 方程 — 最少理论板数

定义/概述

Fenske 方程用于计算全回流条件下的最少理论板数，是多组分精馏简捷计算的核心公式之一。

Fenske 方程

最少理论板数 $N_{\min}$ 的计算公式为：

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\left(\frac{x_{LK}}{x_{HK}}\right)_D \left(\frac{x_{HK}}{x_{LK}}\right)_B\right]}{\log \alpha_{LK,HK}} \tag{7.12}$$

其中：

• $x_{LK}, x_{HK}$ — 轻/重关键组分的摩尔分数
• $D, B$ — 馏出液、釜液
• $\alpha_{LK,HK}$ — 轻重关键组分的平均相对挥发度

摩尔流量形式

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\left(\frac{d}{b}\right)_{LK} / \left(\frac{d}{b}\right)_{HK}\right]}{\log \alpha_{LK,HK}} \tag{7.13}$$

其中 $d/b$ 为分配比，即馏出液与釜液中组分的摩尔流量之比。

平均相对挥发度

几何平均（两点）

取塔顶和塔底条件的几何平均值：

$$\alpha_{av} = \sqrt{\alpha_D \cdot \alpha_B} \tag{7.14}$$

含进料的三点平均

若进料条件与塔顶、塔底差异较大，可选三点几何平均：

$$\alpha_{av} = \sqrt[3]{\alpha_D \cdot \alpha_F \cdot \alpha_B} \tag{7.15}$$

$\alpha_D, \alpha_F, \alpha_B$ 需分别在塔顶温度、进料温度、塔釜温度下，由 Antoine 方程 → $P^{\text{sat}}$ → $K_i$ → $\alpha_{ij}$ 计算。

非关键组分分配

已知 $N_{\min}$ 后，可反算非关键组分在塔顶和塔釜的精确分配：

$$\frac{d_i}{b_i} = \alpha_i^{N_{\min}} \left(\frac{d}{b}\right)_{HK} \tag{7.16}$$

其中 $\alpha_i$ 为组分 $i$ 相对于 HK 的挥发度（$\alpha_{HK} \equiv 1$）。

由物料衡算 $d_i + b_i = f_i$，可解得各组分的绝对分配量：

$$b_i = \frac{f_i}{1 + \alpha_i^{N_{\min}} (d/b)_{HK}} \tag{7.17}$$

$$d_i = f_i - b_i \tag{7.18}$$

若由式 (7.17)-(7.18) 计算得到的非关键组分分配与清晰分割假设差异较大，需将新的 $D, B, x_{Di}, x_{Bi}$ 代回步骤一重新迭代。

关键参数

符号	含义	单位
$N_{\min}$	最少理论板数	无量纲
$\alpha_{ij}$	相对挥发度	无量纲
$d$	馏出液摩尔流量	kmol/h
$b$	釜液摩尔流量	kmol/h

前置知识

• 相对挥发度 $\alpha_{ij} = K_i/K_j$，$K$ 值须由 Antoine 方程 计算 $P^{\text{sat}} / P$ 得到，不可查表 → 4.1.1 相平衡常数

关联条目

• 关键组分与清晰分割
• Underwood 方程
• Gilliland 关联式
• 例 7.1 FUG 全流程计算

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