习题 4.1

题目

液相混合物的组成（摩尔分数）为甲醇 0.4、乙醇 0.3、异丙醇 0.3。 假设为完全理想物系。试求温度 65°C，压力 100 kPa 时各组分的相平衡常数。

已知条件

参数	值
温度	65°C = 338.15 K
压力	100 kPa
甲醇摩尔分数 $x_1$	0.4
乙醇摩尔分数 $x_2$	0.3
异丙醇摩尔分数 $x_3$	0.3
物系	完全理想（气相理想气体，液相理想溶液）

Antoine 常数（$\ln P^{\mathrm{sat}} = A - B/(C + T)$，$P^{\mathrm{sat}}$ 单位 kPa，$T$ 单位 K）

组分	$A$	$B$	$C$
甲醇	16.5785	3638.27	$-33.43$
乙醇	16.6758	3674.49	$-46.76$
异丙醇	17.2968	3889.63	$-51.78$

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求解思路

完全理想物系满足拉乌尔定律和道尔顿分压定律，相平衡常数为：

$$K_i = \frac{P_i^{\mathrm{sat}}}{P}$$

先通过 Antoine 方程计算各组分在 65°C 下的饱和蒸气压，再计算 $K_i$。

计算过程

1. 甲醇的饱和蒸气压

$$\begin{aligned} \ln P_1^{\mathrm{sat}} &= A_1 - \frac{B_1}{C_1 + T} \\ &= 16.5785 - \frac{3638.27}{-33.43 + 338.15} \\ &= 16.5785 - \frac{3638.27}{304.72} \\ &= 16.5785 - 11.9394 = 4.6391 \end{aligned}$$

$$P_1^{\mathrm{sat}} = e^{4.6391} = 103.42\;\mathrm{kPa}$$

$$K_1 = \frac{103.42}{100} = 1.0342$$

2. 乙醇的饱和蒸气压

$$\begin{aligned} \ln P_2^{\mathrm{sat}} &= 16.6758 - \frac{3674.49}{-46.76 + 338.15} \\ &= 16.6758 - \frac{3674.49}{291.39} \\ &= 16.6758 - 12.6099 = 4.0659 \end{aligned}$$

$$P_2^{\mathrm{sat}} = e^{4.0659} = 58.30\;\mathrm{kPa}$$

$$K_2 = \frac{58.30}{100} = 0.5830$$

3. 异丙醇的饱和蒸气压

$$\begin{aligned} \ln P_3^{\mathrm{sat}} &= 17.2968 - \frac{3889.63}{-51.78 + 338.15} \\ &= 17.2968 - \frac{3889.63}{286.37} \\ &= 17.2968 - 13.5826 = 3.7142 \end{aligned}$$

$$P_3^{\mathrm{sat}} = e^{3.7142} = 41.03\;\mathrm{kPa}$$

$$K_3 = \frac{41.03}{100} = 0.4103$$

答案

组分	$P_i^{\mathrm{sat}}$ (kPa)	$K_i$
甲醇	103.4	1.0342
乙醇	58.3	0.5830
异丙醇	41.0	0.4103

验算：$\sum K_i x_i = 1.0342\times0.4 + 0.5830\times0.3 + 0.4103\times0.3 = 0.7117 \neq 1$，说明该温度不是泡点温度——题目只要求计算 $K_i$，不需要满足泡点方程。

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