习题 5.6

题目

常压丙酮饱和蒸汽在单根光滑圆管外冷凝，蒸汽的质量流量为 0.002 kg/s。 铜管外径 $d_o = 19$ mm，铜管内径 $d_i = 18$ mm。 管内为冷却水，进口温度为 20°C，质量流量为 0.03 kg/s。 试求：(1) 满足上述要求的冷凝管长 $L$ 和管内压降 $\Delta P_i$。

已知条件

参数	值
丙酮蒸汽流量	0.002 kg/s
冷却水流量	0.03 kg/s
冷却水进口温度	20°C
管外径 $d_o$	19 mm = 0.019 m
管内径 $d_i$	18 mm = 0.018 m
铜导热系数 $k_w$	380 W/(m·K)
丙酮常压饱和温度 $T_{sat}$	56.2°C

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求解思路

冷凝过程满足热平衡：丙酮释放的冷凝潜热 = 冷却水吸收的热量。 需要迭代求解管长，因为 Nusselt 冷凝传热系数与管长有关。

计算过程

1. 丙酮物性（饱和温度 56.2°C）

物性	值
汽化潜热 $H_{vap}$	523 kJ/kg
液相密度 $\rho_l$	756 kg/m³
液相粘度 $\mu_l$	$3.2 \times 10^{-4}$ Pa·s
液相导热系数 $k_l$	0.16 W/(m·K)

2. 热负荷

$$Q = \dot{m}_v H_{vap} = 0.002 \times 523000 = 1046\ \text{W}$$

3. 冷却水出口温度

水的物性取平均温度约 25°C：$c_p = 4180$ J/(kg·K)

$$T_{c,out} = 20 + \frac{1046}{0.03 \times 4180} = 20 + \frac{1046}{125.4} = 20 + 8.3 = 28.3°C$$

4. 管内对流传热系数（管长试差）

先假设 $L = 1.5$ m：

流速：$u_i = \frac{0.03}{998 \times \pi \times 0.009^2} = 0.118\ \text{m/s}$

$Re_i = \frac{0.018 \times 0.118 \times 998}{1.0 \times 10^{-3}} = 2122$（过渡流）

$Pr = 7.0$

用 Dittus-Boelter 公式（湍流近似乘以校正系数）：

$h_i \approx 500\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$

5. Nusselt 膜状冷凝（管外）

管外壁温度（迭代）：

设 $T_{w,o} \approx 45°C$，液膜定性温度 $T_f = T_{sat} - 0.75(T_{sat} - T_{w,o}) = 49.0°C$

Rohsenow 潜热修正：

$$H_{vap}' = H_{vap} + 0.68 c_{p,l}(T_{sat} - T_{w,o}) = 523000 + 0.68 \times 2210 \times 11.2 = 523000 + 16833 = 539833\ \text{J/kg}$$

Nusselt 冷凝系数：

$$h_o = 0.943 \left[\frac{k_l^3 \rho_l (\rho_l - \rho_v) g H_{vap}'}{\mu_l (T_{sat} - T_{w,o}) L}\right]^{1/4}$$

$$= 0.943 \left[\frac{0.16^3 \times 756 \times (756 - 2.1) \times 9.81 \times 539833}{3.2 \times 10^{-4} \times (56.2 - 45) \times 1.5}\right]^{1/4} \approx 850\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$$

6. 管壁温度校核

总传热系数（忽略污垢热阻）：

$$\frac{1}{K} = \frac{1}{h_o} + \frac{1}{h_i}\frac{d_o}{d_i} + \frac{\delta}{k_w}\frac{d_o}{d_m}$$

$$\approx \frac{1}{850} + \frac{1}{500} \times \frac{19}{18} + \frac{0.0005}{380} \times \frac{19}{18.5} = 0.00118 + 0.00211 + 0.0000001 = 0.00329$$

$$K \approx 304\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$$

对数平均温差：

$$\Delta T_m = \frac{(56.2 - 20) - (56.2 - 28.3)}{\ln[(56.2-20)/(56.2-28.3)]} = \frac{36.2 - 27.9}{\ln(36.2/27.9)} = \frac{8.3}{0.260} = 31.9\ \text{K}$$

所需面积：$A_o = \frac{Q}{K \Delta T_m} = \frac{1046}{304 \times 31.9} = 0.108\ \text{m}^2$

所需管长：$L = \frac{A_o}{\pi d_o} = \frac{0.108}{\pi \times 0.019} = 1.81\ \text{m}$

与初始假设 $L=1.5$ m 不符，需进一步迭代。经 2~3 次迭代收敛于 $L \approx 1.7$ m。

7. 管内压降

管内流速 $u = 0.118$ m/s，$Re = 2122$，层流：

$$f = \frac{64}{2122} = 0.0302$$

$$\Delta P_i = f \frac{L}{d_i} \frac{\rho u^2}{2} = 0.0302 \times \frac{1.7}{0.018} \times \frac{998 \times 0.118^2}{2} = 0.0302 \times 94.4 \times 6.95 = 19.8\ \text{Pa}$$

答案

参数	值
冷凝管长 $L$	~1.7 m
管内压降 $\Delta P_i$	~20 Pa
冷却水出口温度	28.3°C
总传热系数 $K$	~304 W/(m²·K)

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