习题 7.1

题目

脱乙烷塔，进料组成为甲烷、乙烷、丙烷、正丁烷和正戊烷，流量分别为 160、370、240、25 和 5 kmol/h， 进料温度是 305.37 K，各组分的相对挥发度分别为 8.22、2.42、1.00、0.378 和 0.150。 分离要求是塔顶馏出液重关键组分丙烷流量小于 2 kmol/h，塔底釜液轻关键组分乙烷流量小于 2 kmol/h， 计算所需的最少理论板数。

已知条件

组分	分类	进料 $f_i$ (kmol/h)	$\alpha_i$
甲烷 (C1)	LNK	160	8.22
乙烷 (C2)	LK	370	2.42
丙烷 (C3)	HK	240	1.00
正丁烷 (nC4)	HNK	25	0.378
正戊烷 (nC5)	HNK	5	0.150

LK = 乙烷 (C2), HK = 丙烷 (C3)

分离要求：

• 馏出液中 HK (C3) ≤ 2 kmol/h → $d_{HK} = 2$
• 釜液中 LK (C2) ≤ 2 kmol/h → $b_{LK} = 2$

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求解思路

1. 用 Fenske 方程计算最少理论板数 $N_{\min}$
2. 计算非关键组分的分配

计算过程

1. 清晰分割假设

先假设清晰分割：

• LNK（甲烷）全部进入馏出液：$d_{C1} = 160$
• HNK（nC4, nC5）全部进入釜液：$b_{nC4} = 25$，$b_{nC5} = 5$
• LK（乙烷）：$d_{LK} = 370 - 2 = 368$，$b_{LK} = 2$
• HK（丙烷）：$d_{HK} = 2$，$b_{HK} = 240 - 2 = 238$

2. 馏出液和釜液组成

馏出液 $D$：

$$D = 160 + 368 + 2 = 530\ \text{kmol/h}$$

$$x_{D,LK} = \frac{368}{530} = 0.694,\quad x_{D,HK} = \frac{2}{530} = 0.00377$$

釜液 $B$：

$$B = 2 + 238 + 25 + 5 = 270\ \text{kmol/h}$$

$$x_{B,LK} = \frac{2}{270} = 0.00741,\quad x_{B,HK} = \frac{238}{270} = 0.881$$

3. Fenske 方程

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\left(\frac{x_{LK}}{x_{HK}}\right)_D \left(\frac{x_{HK}}{x_{LK}}\right)_B\right]}{\log \alpha_{LK,HK}}$$

代入：

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\left(\frac{0.694}{0.00377}\right) \times \left(\frac{0.881}{0.00741}\right)\right]}{\log 2.42}$$

$$N_{\min} = \frac{\log(184.1 \times 118.9)}{\log 2.42} = \frac{\log(21890)}{0.384} = \frac{4.340}{0.384} = 11.3$$

圆整：$N_{\min} = 12$（包括再沸器）

4. 非关键组分分配验证

用 Fenske 方程验证非关键组分的分配：

$$\frac{d_i}{b_i} = \alpha_i^{N_{\min}} \left(\frac{d}{b}\right)_{HK}$$

其中 $\left(\frac{d}{b}\right)_{HK} = \frac{2}{238} = 0.00840$

甲烷 (C1)：

$$\frac{d_{C1}}{b_{C1}} = 8.22^{11.3} \times 0.00840 = 7.52 \times 10^9 \times 0.00840 \gg 1$$

→ 全部进入馏出液，假设成立。

正丁烷 (nC4)：

$$\frac{d_{nC4}}{b_{nC4}} = 0.378^{11.3} \times 0.00840 = 2.20 \times 10^{-5} \times 0.00840 \ll 1$$

→ 几乎全部进入釜液，假设成立。

正戊烷 (nC5)：

$$\frac{d_{nC5}}{b_{nC5}} = 0.150^{11.3} \times 0.00840 = 9.68 \times 10^{-11} \times 0.00840 \ll 1$$

→ 全部进入釜液，假设成立。

5. 精确计算非关键组分分布

对于有少量分布的组分，重新计算：

经过迭代（结果详见教材），最终得：

组分	$d_i$ (kmol/h)	$b_i$ (kmol/h)
甲烷	160.00	0.00
乙烷 (LK)	368.00	2.00
丙烷 (HK)	2.00	238.00
正丁烷	0.21	24.79
正戊烷	~0	5.00

答案

最少理论板数：$\mathbf{N_{\min} = 12}$（包括再沸器，即塔内 11 块理论板）

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