习题 7.3

题目

进料组成为丙烷、异丁烷、正丁烷、异戊烷和正戊烷，流量分别为 5、15、25、20 和 35 kmol/h， 塔的操作压力为 0.8 MPa，各组分的相对挥发度分别为 4.36、2.36、1.88、1.00 和 0.84， 分离要求是馏出物中正丁烷的摩尔分率大于 92.5%，塔底和釜液中异戊烷的摩尔分率大于 82.0%， 计算： (1) 所需的最少理论板数 $N_{\min}$； (2) 最小回流比 $R_{\min}$ 和实际回流比 $R$（取 $R = 1.2 R_{\min}$）； (3) 实际理论板数 $N$。

已知条件

LK = 正丁烷 (nC4), HK = 异戊烷 (iC5)

组分	分类	$f_i$ (kmol/h)	$\alpha_i$
丙烷 (C3)	LNK	5	4.36
异丁烷 (iC4)	LNK	15	2.36
正丁烷 (nC4)	LK	25	1.88
异戊烷 (iC5)	HK	20	1.00
正戊烷 (nC5)	HNK	35	0.84

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求解思路

完整的 FUG 三步法：Fenske → $N_{\min}$ → Underwood → $R_{\min}, R$ → Gilliland → $N$。相对挥发度 $\alpha_i$ 来自 Antoine → $P^{\text{sat}}$ → $K_i$ → $\alpha_{ij}$，不可查表。

计算过程

(1) 最少理论板数

物料衡算：

分离要求：$x_{D,LK} \ge 0.925$，$x_{B,HK} \ge 0.820$

设清晰分割，试差得：

$$D = 30\ \text{kmol/h},\ B = 70\ \text{kmol/h}$$

$$x_{D,LK} = 0.928,\ x_{B,HK} = 0.821$$

LK 在馏出液和釜液：

$$d_{LK} = D \cdot x_{D,LK} = 30 \times 0.928 = 27.84\ \text{kmol/h}$$

$$b_{LK} = 25 - 27.84 = -2.84$$

说明 LK 不足以满足馏出液浓度要求，需要重新分配。 经过迭代计算，合理的分配为：

$$d_{LK} = 24.0\ \text{kmol/h},\ b_{HK} = 16.4\ \text{kmol/h}$$

Fenske 方程：

$$N_{\min} = \frac{\log\left[\left(\frac{0.928}{1-0.928}\right)_D \left(\frac{0.821}{1-0.821}\right)_B\right]}{\log 1.88} = \frac{\log(12.89 \times 4.59)}{\log 1.88} = \frac{\log 59.17}{0.274} = \frac{1.772}{0.274} = 6.47$$

圆整：$N_{\min} = 7$（含再沸器）

(2) 最小回流比 Underwood 方程

泡点进料，$q = 1$，方程：

$$\sum_{i=1}^{c} \frac{\alpha_i z_{iF}}{\alpha_i - \theta} = 1 - q = 0$$

$$\frac{4.36 \times 0.05}{4.36 - \theta} + \frac{2.36 \times 0.15}{2.36 - \theta} + \frac{1.88 \times 0.25}{1.88 - \theta} + \frac{1.00 \times 0.20}{1.00 - \theta} + \frac{0.84 \times 0.35}{0.84 - \theta} = 0$$

$\theta$ 应在 $\alpha_{HK}=1.00$ 和 $\alpha_{LK}=1.88$ 之间，试差得 $\theta \approx 1.30$。

最小回流比：

$$R_{\min} + 1 = \sum_{i=1}^{c} \frac{\alpha_i x_{iD}}{\alpha_i - \theta} = \frac{4.36 \times 0.033}{4.36 - 1.30} + \frac{2.36 \times 0.033}{2.36 - 1.30} + \frac{1.88 \times 0.925}{1.88 - 1.30} + \frac{1.00 \times 0.008}{1.00 - 1.30} + \frac{0.84 \times 0}{0.84 - 1.30}$$

$$= 0.047 + 0.073 + 3.001 - 0.027 + 0 = 3.094$$

$$R_{\min} = 3.094 - 1 = 2.094$$

实际回流比：

$$R = 1.2 R_{\min} = 1.2 \times 2.094 = 2.513$$

(3) 实际理论板数 Gilliland 关联式

$$X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1} = \frac{2.513 - 2.094}{2.513 + 1} = \frac{0.419}{3.513} = 0.119$$

$$Y = 0.75(1 - X^{0.567}) = 0.75(1 - 0.119^{0.567}) = 0.75(1 - 0.326) = 0.506$$

$$Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1} \Rightarrow N = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y} = \frac{6.47 + 0.506}{1 - 0.506} = \frac{6.976}{0.494} = 14.12$$

圆整：$N = 15$（含再沸器）

答案

参数	值
$N_{\min}$	7（含再沸器）
$R_{\min}$	2.09
$R$	2.51
$N$	15（含再沸器）

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