Underwood 方程 — 最小回流比

定义/概述

Underwood 方程用于简捷计算多组分精馏的最小回流比 $R_{\min}$，采用恒定的相对挥发度和恒摩尔流假设。

前置知识

• 相对挥发度 $\alpha_{ij}$ 的计算（Antoine → $P^{\text{sat}}$ → $K_i$ → $\alpha_{ij}$）→ 4.1.1 相平衡常数
• 关键组分与物料衡算（$x_{Di}$, $z_{iF}$, $q$）→ 7.1 关键组分与清晰分割
• Fenske 方程求得的最少理论板数是本节的并行计算 → 7.2 Fenske 方程

基本公式

Underwood 法由两个公式组成：

$$\sum_{i=1}^{c} \frac{\alpha_i (x_{iD})_m}{\alpha_i - \theta} = R_{\min} + 1 \tag{7.19}$$

$$\sum_{i=1}^{c} \frac{\alpha_i z_{iF}}{\alpha_i - \theta} = 1 - q \tag{7.20}$$

其中：

• $\alpha_i$ — 组分 $i$ 的相对挥发度
• $(x_{iD})_m$ — 全回流下馏出液中组分 $i$ 的摩尔分数（由 Fenske 方程求得）
• $z_{iF}$ — 进料中组分 $i$ 的摩尔分数
• $q$ — 进料热状态参数，进料中液相的摩尔分率（见下方详述）
• $\theta$ — Underwood 方程的根，介于 $\alpha_{HK}$ 和 $\alpha_{LK}$ 之间

进料热状态参数 $q$

$q$ 的物理意义：将 1 mol 进料变为饱和蒸汽所需的热量，除以该进料的摩尔汽化潜热。

等价定义——进料中液相所占的摩尔分率：

$$q = \frac{L_F - L}{F}$$

其中 $L_F$ 为进料板以下（提馏段）的液相流量，$L$ 为进料板以上（精馏段）的液相流量，$F$ 为进料流量。

$q$ 值与进料状态的对应关系

进料状态	$q$ 值	含义
过冷液体（温度低于泡点）	$q > 1$	进料被加热至泡点过程中，部分上升蒸汽被冷凝，$L_F > L + F$
泡点液体（饱和液体）	$\mathbf{q = 1}$	进料全为液相，$L_F = L + F$
气液混合物	$0 < q < 1$	$q$ 等于液相分率，如 30% 汽化则 $q = 0.7$
露点气体（饱和蒸汽）	$\mathbf{q = 0}$	进料全为气相，$L_F = L$
过热气体（温度高于露点）	$q < 0$	进料使部分回流液汽化，$L_F < L$

$q$ 的计算

若已知进料温度 $T_F$、泡点温度 $T_b$ 和露点温度 $T_d$，可精确计算：

$$q = \frac{H_V - H_F}{H_V - H_L}$$

其中：

• $H_V$ — 露点温度下饱和蒸汽的焓，J/kmol
• $H_L$ — 泡点温度下饱和液体的焓，J/kmol
• $H_F$ — 进料在实际温度下的焓，J/kmol

简化估算（当缺少焓数据时）：

• 泡点进料：$q = 1$（最常用假设）
• 露点进料：$q = 0$
• 气液混合：$q = \text{液相摩尔分率}$

计算步骤

1. 由方程 (7.20) 试差求解 $\theta$（介于 $\alpha_{HK}$ 和 $\alpha_{LK}$ 之间）
2. 将 $\theta$ 代入方程 (7.19) 计算 $R_{\min}$

实际回流比

实际回流比取最小回流比的 1.2~1.5 倍：

$$R = 1.3 R_{\min} \tag{7.21}$$

关键参数

符号	含义	单位
$R_{\min}$	最小回流比	无量纲
$R$	实际回流比	无量纲
$\theta$	Underwood 根	无量纲
$q$	进料热状态参数（泡点=1，露点=0）	无量纲

关联条目

• Fenske 方程
• Gilliland 关联式

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