例 5.3 — 套管换热器设计

题目

单管套管式换热器（理想逆流），管内冷流体为甲苯，管外热流体为水。

参数	甲苯（管内冷流体）	水（管外热流体）
进口温度	30°C	80°C
出口温度	50°C	?
进口流速	0.5 m/s	0.3 m/s

换热管规格：$\phi 25 \times 2.5$ mm（$d_i = 20$ mm，$d_o = 25$ mm），壳程内径 $d_s = 50$ mm。 假设温差修正因子 $\varepsilon_{\Delta T} = 1$（理想逆流），忽略污垢热阻。

计算所需换热管长度。

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已知条件

物性参数

参数	甲苯（40°C 平均）	水（79°C 平均）
密度 $\rho$	848 kg/m³	973 kg/m³
粘度 $\mu$	$4.65 \times 10^{-4}$ Pa·s	$3.6 \times 10^{-4}$ Pa·s
导热系数 $k$	0.13 W/(m·K)	0.67 W/(m·K)
比热容 $c_p$	1750 J/(kg·K)	4195 J/(kg·K)

注：物性取流体进出口平均温度下的值。

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求解过程

步骤 1：质量流量

管内（甲苯）：

$$A_i = \frac{\pi d_i^2}{4} = \frac{\pi \times 0.02^2}{4} = 3.14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$$

$$\dot{m}_c = \rho_c u_c A_i = 848 \times 0.5 \times 3.14 \times 10^{-4} = \mathbf{0.133\ \text{kg/s}}$$

管外（水）：

$$A_s = \frac{\pi (d_s^2 - d_o^2)}{4} = \frac{\pi \times (0.05^2 - 0.025^2)}{4} = 1.473 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$$

$$\dot{m}_h = \rho_h u_h A_s = 973 \times 0.3 \times 1.473 \times 10^{-3} = \mathbf{0.430\ \text{kg/s}}$$

步骤 2：热负荷和热水出口温度

甲苯吸热：

$$Q = \dot{m}_c c_{p,c} (T_{c,o} - T_{c,i}) = 0.133 \times 1750 \times (50 - 30) = \mathbf{4655\ \text{W}}$$

水出口温度：

$$T_{h,o} = T_{h,i} - \frac{Q}{\dot{m}_h c_{p,h}} = 80 - \frac{4655}{0.430 \times 4195} = 80 - 2.58 = \mathbf{77.4°C}$$

步骤 3：对数平均温差（逆流）

$$\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o} = 80 - 50 = 30\ \text{K}$$

$$\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i} = 77.4 - 30 = 47.4\ \text{K}$$

$$\Delta T_m = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln(\Delta T_2 / \Delta T_1)} = \frac{47.4 - 30}{\ln(47.4 / 30)} = \frac{17.4}{0.457} = \mathbf{38.1\ \text{K}}$$

步骤 4：管内传热系数（甲苯）

$$Re_c = \frac{d_i u_c \rho_c}{\mu_c} = \frac{0.02 \times 0.5 \times 848}{4.65 \times 10^{-4}} = \mathbf{18237} > 10000\ \text{（湍流）}$$

$$Pr_c = \frac{c_{p,c} \mu_c}{k_c} = \frac{1750 \times 4.65 \times 10^{-4}}{0.13} = \mathbf{6.26}$$

Dittus-Boelter 公式（被加热流体 $n = 0.4$）：

$$h_i = 0.023 \frac{k_c}{d_i} Re^{0.8} Pr^{0.4}$$

$$h_i = 0.023 \times \frac{0.13}{0.02} \times 18237^{0.8} \times 6.26^{0.4} = \mathbf{664\ \mathrm{W/(m^2·K)}}$$

步骤 5：壳程传热系数（水）

当量直径（套管环隙）：

$$d_e = \frac{d_s^2 - d_o^2}{d_s + d_o} = \frac{0.05^2 - 0.025^2}{0.05 + 0.025} = \mathbf{0.025\ \text{m}}$$

$$Re_s = \frac{d_e u_h \rho_h}{\mu_h} = \frac{0.025 \times 0.3 \times 973}{3.6 \times 10^{-4}} = \mathbf{20271} > 10000$$

$$Pr_h = \frac{4195 \times 3.6 \times 10^{-4}}{0.67} = \mathbf{2.25}$$

壳程传热系数（Kern 法）：

$$h_o = 0.36 \frac{k_h}{d_e} Re_s^{0.55} Pr_h^{1/3} \left(\frac{\mu}{\mu_w}\right)^{0.14}$$

取 $\mu/\mu_w \approx 1$（壁面温度与流体温度接近）：

$$h_o = 0.36 \times \frac{0.67}{0.025} \times 20271^{0.55} \times 2.25^{1/3} = \mathbf{2172\ \mathrm{W/(m^2·K)}}$$

步骤 6：总传热系数

基于管外面积（忽略污垢热阻和管壁热阻，薄壁管）：

$$\frac{1}{K} \approx \frac{1}{h_o} + \frac{1}{h_i} \frac{d_o}{d_i} = \frac{1}{2172} + \frac{1}{664} \times \frac{0.025}{0.020} = 4.60 \times 10^{-4} + 1.88 \times 10^{-3}$$

$$K = \frac{1}{2.34 \times 10^{-3}} = \mathbf{427\ \mathrm{W/(m^2·K)}}$$

步骤 7：所需管长

$$Q = K A_o \Delta T_m = K (\pi d_o L) \Delta T_m$$

$$L = \frac{Q}{K \pi d_o \Delta T_m} = \frac{4655}{427 \times \pi \times 0.025 \times 38.1}$$

$$L = \frac{4655}{1278} = \mathbf{3.64\ \text{m}}$$

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结果汇总

参数	值	参数	值
热负荷 $Q$	4655 W	水出口温度 $T_{h,o}$	77.4°C
$\Delta T_m$	38.1 K	管内 $h_i$	664 W/(m²·K)
壳程 $h_o$	2172 W/(m²·K)	总 $K$	427 W/(m²·K)
所需管长 $L$	3.64 m

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方法总结：套管换热器设计流程

1. 质量流量 ← 流速 × 截面积 × 密度
2. 热负荷 ← 能量衡算 → 出口温度
3. 对数平均温差 ← 进出口四温度
4. 管内传热 ← 雷诺数 → 普朗特数 → Dittus-Boelter
5. 壳程传热 ← 当量直径 → 雷诺数 → Kern 公式
6. 总传热系数 ← 热阻串联（管内 + 管外 + 管壁 + 污垢）
7. 所需面积/管长 ← $Q = KA\Delta T_m$

关联条目

• 能量衡算
• 平均温度差
• 总传热系数
• 管内传热系数
• 壳程传热系数

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