例 5.1 — 光滑管与粗糙管的管内压降

题目

圆管内径 $d_i = 19$ mm，管长 $L = 5$ m，流体为水，进出口平均温度 35°C，管内平均流速 $u = 4$ m/s。

计算：(1) 光滑管的压降和泵功消耗；(2) 粗糙管（相对粗糙度 $e/d = 0.05$）的压降和泵功消耗。

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已知条件

参数	值	参数	值
管内径 $d_i$	0.019 m	管长 $L$	5 m
流速 $u$	4 m/s	温度	35°C

水在 35°C 的物性：

物性	符号	值
密度	$\rho$	994 kg/m³
动力粘度	$\mu$	$7.19 \times 10^{-4}$ Pa·s

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求解过程

步骤 1：雷诺数

$$Re = \frac{d_i u \rho}{\mu} = \frac{0.019 \times 4 \times 994}{7.19 \times 10^{-4}} = \mathbf{1.05 \times 10^5}$$

$Re > 3000$，为湍流。

步骤 2：截面积和体积流量

$$A = \frac{\pi d_i^2}{4} = \frac{\pi \times 0.019^2}{4} = 2.835 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$$

$$V = u A = 4 \times 2.835 \times 10^{-4} = 1.134 \times 10^{-3}\ \text{m}^3\text{/s}$$

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(1) 光滑管

摩擦系数（Blasius 公式）：

$$f = 0.3164 \cdot Re^{-0.25} = 0.3164 \times (1.05 \times 10^5)^{-0.25} = \mathbf{0.0176}$$

压降：

$$\Delta P = \frac{4f L \rho u^2}{d_i \cdot 2} = \frac{4 \times 0.0176 \times 5 \times 994 \times 16}{0.019 \times 2} = \mathbf{36778\ \text{Pa}}$$

注意：$\Delta P_f$ 公式 (5.26) 中的分子是 $4f L \rho u^2$，分母是 $d_i \cdot 2$。也可写为 $f \cdot \frac{L}{d_i} \cdot \frac{\rho u^2}{2}$，取决于 $f$ 是达西摩擦系数还是范宁摩擦系数，两者相差 4 倍。

泵功消耗：

$$W = V \cdot \Delta P = 1.134 \times 10^{-3} \times 36778 = \mathbf{41.7\ \text{W}}$$

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(2) 粗糙管 ($e/d = 0.05$)

摩擦系数需用 Colebrook-White 方程 迭代求解：

$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\left(\frac{e/d}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right)$$

代入 $e/d = 0.05$，$Re = 1.05 \times 10^5$：

$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\left(\frac{0.05}{3.7} + \frac{2.51}{1.05 \times 10^5 \sqrt{f}}\right)$$

试差求解：$f = \mathbf{0.0718}$

压降：

$$\Delta P = \frac{4 \times 0.0718 \times 5 \times 994 \times 16}{0.019 \times 2} = \mathbf{150188\ \text{Pa}}$$

泵功消耗：

$$W = 1.134 \times 10^{-3} \times 150188 = \mathbf{170.3\ \text{W}}$$

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结果对比

参数	光滑管	粗糙管 ($e/d = 0.05$)
摩擦系数 $f$	0.0176	0.0718
压降 $\Delta P$	36.8 kPa	150.2 kPa
泵功 $W$	41.7 W	170.3 W

粗糙管的压降是光滑管的 4.1 倍，说明相对粗糙度对压降影响极大。工程设计中如无特殊需要应优先选用光滑管或低粗糙度管材。

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方法总结

1. 雷诺数判断流态 → 选用正确的摩擦系数公式
2. 层流：$f = 64/Re$
3. 湍流光滑管：Blasius 公式 $f = 0.3164 Re^{-0.25}$
4. 粗糙管：Colebrook-White 方程需迭代求解

关联条目

• 管内阻力
• 能量衡算

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