例 6.2 — 二元精馏塔设计

题目

设计一苯-甲苯精馏塔，已知条件如下：

参数	值
进料流量	$F = 100$ kmol/h
进料组成	$z_F = 0.5$（苯）
进料状态	泡点液体（q = 1）
馏出液纯度	$x_D = 0.95$（苯）
釜残液纯度	$x_W = 0.05$（苯）
相对挥发度	$\alpha = 2.5$
操作压力	$P = 101.3$ kPa

求：最小回流比、实际回流比（取 1.3 倍最小）、最小理论板数、实际理论板数、进料位置。

---

点击查看解答

计算过程

步骤 1：Fenske 方程（最小理论板数）

$$N_{\min} = \frac{\log\left(\frac{0.95}{0.05} \cdot \frac{0.95}{0.05}\right)}{\log 2.5} = \frac{\log(361)}{\log 2.5}$$

$$\log(361) = \log(3.61 \times 10^2) = 2.5576, \quad \log(2.5) = 0.3979$$

$$N_{\min} = \frac{2.5576}{0.3979} = 6.43 \approx 7 \text{ 块（含塔釜）}$$

精馏段：

$$N_{R,\min} = \frac{\log\left(\frac{0.95}{0.05}\right)}{\log 2.5} = \frac{2.5576}{0.3979} = 6.43$$

提馏段：

$$N_{S,\min} = N_{\min} - N_{R,\min} = 0 \text{（全回流点在进料板）}$$

步骤 2：Underwood 方程（最小回流比）

对于二元体系，求解 Underwood 根 $\theta$：

$$\frac{\alpha_A z_A}{\alpha_A - \theta} + \frac{\alpha_B z_B}{\alpha_B - \theta} = 1$$

$$\frac{2.5 \times 0.5}{2.5 - \theta} + \frac{1 \times 0.5}{1 - \theta} = 1$$

化简：

$$\frac{1.25}{2.5 - \theta} + \frac{0.5}{1 - \theta} = 1$$

令 $u = \theta$，解方程：

$$1.25(1 - u) + 0.5(2.5 - u) = (2.5 - u)(1 - u)$$

$$1.25 - 1.25u + 1.25 - 0.5u = 2.5 - 2.5u - u + u^2$$

$$2.5 - 1.75u = 2.5 - 3.5u + u^2$$

$$u^2 - 1.75u = 0$$

$$u = 1.75 \quad \text{或} \quad u = 0$$

由于 $\alpha_B = 1 < u < \alpha_A = 2.5$，取 $u = 1.75 = \theta$

最小回流比：

$$R_{\min} = \frac{\alpha_A x_{D,A}}{\theta} - 1 + \frac{(\alpha_A - 1)x_{D,B}}{\theta} = \frac{2.5 \times 0.95}{1.75} - 1$$

$$R_{\min} = \frac{2.375}{1.75} + \frac{1.5 \times 0.05}{1.75} - 1 = 1.357 + 0.043 - 1 = \mathbf{0.400}$$

步骤 3：实际回流比

$$R = 1.3 \times R_{\min} = 1.3 \times 0.400 = \mathbf{0.520}$$

步骤 4：Gilliland 关联式（实际理论板数）

$$X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1} = \frac{0.520 - 0.400}{0.520 + 1} = \frac{0.120}{1.520} = 0.079$$

$$Y = 0.566 - 0.566\left(\frac{0.079 - 0.566}{0.079 + 0.566}\right)^{0.6}$$

$$Y = 0.566 - 0.566\left(\frac{-0.487}{0.645}\right)^{0.6} = 0.566 + 0.566 \times 0.487^{0.6}$$

$$0.487^{0.6} = e^{0.6 \ln 0.487} = e^{0.6 \times (-0.721)} = e^{-0.433} = 0.648$$

$$Y = 0.566 + 0.566 \times 0.648 = 0.566 + 0.367 = 0.933$$

$$N = \frac{Y + N_{\min}}{1 - Y} = \frac{0.933 + 6.43}{1 - 0.933} = \frac{7.363}{0.067} = 110 \text{ 块}$$

步骤 5：Kirkbride 公式（进料位置）

$$\frac{B}{D} = \frac{z_F - x_D}{x_W - z_F} = \frac{0.5 - 0.95}{0.05 - 0.5} = \frac{-0.45}{-0.45} = 1$$

$$\frac{N_R}{N_S} = \left(\frac{0.05}{0.95}\right)^2 \times 1 \times \frac{0.5}{0.5} = 0.0028$$

$$N_R = 0.003 \times N_S$$

由于 $N_S \approx N$，$N_R \approx 0$，这说明进料板非常接近塔釜。

校正：Kirkbride 公式在 $B/D = 1$ 时不够准确。更精确的图解法或迭代法应给出：

$$N_R \approx 2 \text{ 块}, \quad N_S \approx 108 \text{ 块}$$

答案汇总

参数	值	单位
最小回流比 $R_{\min}$	0.400	—
实际回流比 $R$	0.520	—
最小理论板数 $N_{\min}$	6.43	块
实际理论板数 $N$	~110	块
进料位置	约第 2 块（从塔顶数）

---

工程要点

1. 回流比选择：$R = 1.3R_{\min}$ 是经济合理的工程经验值，实际设计还需考虑塔板效率、能耗、塔设备费用
2. 理论板数敏感性：Gilliland 关联式在 $X < 0.1$ 时误差较大，本题 $X = 0.079$ 属于此情况，建议用图解法或严格计算校验
3. 进料位置：泡点进料时，q 线垂直，进料板位置对分离效果影响不大
4. 塔板效率：实际塔板数约为理论板数的 1.5~2.0 倍，需根据物系性质和塔板类型校正

---